Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Bước 1

Tính giới hạn của $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

Bước 2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1 + h$ và $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.2

Cộng $h$ và $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.3

Viết lại ${(1 + h)}^{2}$ ở dạng $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.4

Khai triển $(1 + h) (1 + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.5.1.2

Nhân $h$ với $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.5.1.3

Nhân $h$ với $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.5.1.4

Nhân $h$ với $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.5.2

Cộng $h$ và $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.6

Nhân $1 + h$ với $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

Bước 2.1.3.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

Bước 2.1.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

Bước 2.1.3.9

Cộng $2 h$ và $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

Bước 2.1.3.10

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

Bước 2.1.3.11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Bước 2.2.2

Chia $h^{2} + 3 h + 3$ cho $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$