Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x - 1)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x - 1)}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1)}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1)}$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x - 1 \cdot 1)}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9.1.4

Viết lại $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9.1.4.2

Chia $0$ cho $2$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4} - 1 \cdot 1)}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4} - 1)}$

Bước 9.2.2

Tính $\tan (\frac{π}{4} - 1)$ .

$\frac{0}{- 0.21795809}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $- 0.21795809$ .

$0$