Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} (\frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}}) - \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $h$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $\frac{1}{h}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x + h - 4} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 8

Tính giới hạn của $h$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Bước 12

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Bước 13

Chuyển số hạng $\frac{1}{h}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x - 4}$

Bước 14

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4)}$

Bước 15

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Bước 16

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Bước 16.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Bước 16.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Bước 16.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Bước 17

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Cộng $0$ và $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Bước 17.1.2

Cộng $0$ và $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Bước 17.1.3

Trừ $1 \cdot 2$ khỏi $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Bước 17.1.4

Trừ $1 \cdot 4$ khỏi $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Bước 17.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Bước 17.2.2

Đưa $\frac{1}{h}$ ra ngoài $\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)}$ .

$h \frac{h + 2}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Bước 17.2.3

Kết hợp $h$ và $\frac{h + 2}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Bước 17.2.4

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Bước 17.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Bước 17.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{1}{h} \cdot (4)$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Bước 17.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 \cdot 1}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Bước 17.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{1}{h} \cdot (2)}$

Bước 17.2.6

Kết hợp $\frac{1}{h}$ và $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{2}{h}}$

Bước 17.2.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - (1 \frac{h}{2})$

Bước 17.2.8

Nhân $\frac{h}{2}$ với $1$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{h}{2}$

Bước 17.3

Để viết $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2}$

Bước 17.4

Để viết $- \frac{h}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Bước 17.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(h - 4) \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Nhân $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Bước 17.5.2

Nhân $\frac{h}{2}$ với $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(h - 4) \cdot 2$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{2 (h - 4)} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.1

Đưa $h$ ra ngoài $h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.7.1.1

Đưa $h$ ra ngoài $h (h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.1.2

Đưa $h$ ra ngoài $- h (h - 4)$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.1.3

Đưa $h$ ra ngoài $h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (h \cdot 2 + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $h$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 4 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (2 h + 4 - h - - 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.6

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{h (2 h + 4 - h + 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.7

Trừ $h$ khỏi $2 h$ .

$\frac{h (h + 4 + 4)}{2 (h - 4)}$

Bước 17.7.8

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{h (h + 8)}{2 (h - 4)}$