Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x^{2})$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Bước 1.2

Viết lại $\sec (x - 1)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ sang $\sec (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ sang $\cot (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Bước 2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Bước 2.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Bước 3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Bước 4

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

Bước 5

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái, các giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\infty$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

Bước 7

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

Bước 8.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\sec (- 1) \cdot \infty$

Bước 8.3

Tính $\sec (- 1)$ .

$1.00015232 \cdot \infty$

Bước 8.4

Một hằng số khác 0 nhân với vô cùng là vô cùng.

$\infty$