Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.2.2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Tính giới hạn của $\arctan (x)$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\arctan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.2.2.2

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.2.2.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Bước 1.1.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\arctan (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.5.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Bước 1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Bước 1.5

Nhân $\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ với $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Bước 2

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tính giới hạn của $1 - (1 + x^{2})$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.2.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.2.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 3.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 3.1.3.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 3.1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 3.1.3.5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Bước 3.1.3.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Bước 3.1.3.6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot 0^{2}}$

Bước 3.1.3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.7.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 1) \cdot 0^{2}}$

Bước 3.1.3.7.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0^{2}}$

Bước 3.1.3.7.3

Nhân $0^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Bước 3.1.3.7.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.7.5

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - (1 + x^{2})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (1 + x^{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.4.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.5

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Bước 3.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} + 1$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \cdot 2 x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Bước 3.3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 \cdot (x^{2} + 1) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Bước 3.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 3.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 3.3.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + 0)}$

Bước 3.3.12

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} \cdot 2 x}$

Bước 3.3.13

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}$

Bước 3.3.13.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}$

Bước 3.3.13.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1 + 2} \cdot 2}$

Bước 3.3.13.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{3} \cdot 2}$

Bước 3.3.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot x^{3}}$

Bước 3.3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.15.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1} x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}$

Bước 3.3.15.3.5

Cộng $2 x^{3}$ và $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 x^{3} + 2 x}$

Bước 4

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Bước 5.1.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Bước 5.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Bước 5.1.3.2

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Bước 5.1.3.3

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Bước 5.1.3.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Bước 5.1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Bước 5.1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0}$

Bước 5.1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.6.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Bước 5.1.3.6.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Bước 5.1.3.6.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 0}$

Bước 5.1.3.6.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Bước 5.1.3.6.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Bước 5.1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Bước 5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Bước 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Bước 5.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Bước 5.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Bước 5.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Bước 5.3.4.3

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Bước 5.3.5

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 5.3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \cdot 1}$

Bước 5.3.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Bước 6.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 6.4

Chuyển số hạng $12$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 6.5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 6.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}$

Bước 7

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Bước 8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Bước 8.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0 + 2}$

Bước 8.3.2

Nhân $12$ với $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 2}$

Bước 8.3.3

Cộng $0$ và $2$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{3}$

Bước 8.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{3}$

Dạng thập phân:

$- 0.\overline{3}$