Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

Bước 1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Bước 1.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $1$ .

$1$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\sec (2 \cdot 0)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Bước 9.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ .

$1 \cos (2 \cdot 0)$

Bước 9.3

Nhân $\cos (2 \cdot 0)$ với $1$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Bước 9.4

Nhân $2$ với $0$ .

$\cos (0)$

Bước 9.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1$