Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Bước 3

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{8})$ là $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $\frac{π}{8}$ dưới dạng một góc trong đó các giá trị của sáu hàm lượng giác cơ bản đã biết được chia cho $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Bước 7.2.2

Áp dụng công thức góc chia đôi cho sin.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Bước 7.2.3

Thay đổi $\pm$ thành $+$ vì sin dương trong góc phần tư thứ nhất.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Bước 7.2.4

Rút gọn $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Bước 7.2.4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 7.2.4.5

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.5.1

Nhân $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 7.2.4.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Bước 7.2.4.6

Viết lại $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Bước 7.2.4.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 7.2.4.7.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Bước 7.3.3

Viết lại biểu thức.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Dạng thập phân:

$3.06146745 \dots$