Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} - \frac{1}{x}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Bước 1.2

Để viết $- \frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Bước 1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\ln (x + 1) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln (x + 1) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1)} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 - \ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.6.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.6.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.2.6.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 2.1.3.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 2.1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Bước 2.1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 2.1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 2.1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1)}$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1)}$

Bước 2.1.3.6.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Bước 2.1.3.6.3

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.6.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \ln (x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x + 1)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.6

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.4.7

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - 1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.5.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 0}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.5.4

Cộng $x$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Bước 2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.7.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.8

Kết hợp $\frac{1}{x + 1}$ và $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.11

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.12

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.13

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Bước 2.3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1}$

Bước 2.3.15

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)}$

Bước 2.3.16

Để viết $\ln (x + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 2.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 2.3.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.18.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.18.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.18.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1}{x + 1}}$

Bước 2.3.18.1.1.2

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 2.3.18.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x \ln (x + 1) + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 2.3.18.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Bước 2.5

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $\frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Bước 3.1.3.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 3.1.3.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Bước 3.1.3.8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 3.1.3.9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 3.1.3.9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 3.1.3.9.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Bước 3.1.3.9.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Bước 3.1.3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.10.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Bước 3.1.3.10.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Bước 3.1.3.10.1.3

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Bước 3.1.3.10.1.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (1)}$

Bước 3.1.3.10.1.5

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Bước 3.1.3.10.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Bước 3.1.3.10.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.10.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.11

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.7

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.8

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.9

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.10

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.11

Để viết $\ln (x + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.4.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Bước 3.3.6

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Bước 3.3.6.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Bước 3.3.6.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Bước 3.3.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 3.3.6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Bước 3.3.6.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Bước 3.3.6.5

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Bước 3.3.6.6

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1}}$

Bước 3.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1) + x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.1.3

Cộng $x$ và $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1 + 1}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 + 2 x + 2}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2.2

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2.3

Viết lại $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.2.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x \ln (x + 1) + 2 x + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.2.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x \ln (x + 1) + 2 x) + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x (\ln (x + 1) + 2) + 1 (\ln (x + 1) + 2)}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.2.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $\ln (x + 1) + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Bước 3.3.7.3.2

Chia $\ln (x + 1) + 2$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1) + 2}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.4

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Bước 4.7

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2}$

Bước 5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{\ln (0 + 1) + 2}$

Bước 6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + 2}$

Bước 6.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$