Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (5 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Bước 1.2

Viết lại $\tan (4 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ sang $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ sang $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Bước 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Bước 6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8.1.3

Viết lại biểu thức.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Bước 8.4

Kết hợp $5$ và $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Bước 8.5

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 8.6

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$0 \cdot 0$

Bước 8.7

Nhân $0$ với $0$ .

$0$