Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{x + \frac{π}{2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{2}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $\frac{π}{2}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$ với $\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Bước 11.1.2

Kết hợp.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Đưa $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ ra ngoài $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} (2) \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 11.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Bước 11.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{1} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{2 + 1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4.3

Nhân $1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.4.4

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.5.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{0}{1 π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.5.3

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Bước 11.5.4

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{1} π}$

Bước 11.5.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{0}{π + 1 π}$

Bước 11.5.6

Nhân $π$ với $1$ .

$\frac{0}{π + π}$

Bước 11.5.7

Cộng $π$ và $π$ .

$\frac{0}{2 π}$

Bước 11.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Bước 11.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Bước 11.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Bước 11.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{π}$

Bước 11.7

Chia $0$ cho $π$ .

$0$