Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + \sin (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - 3 \sin (x) + 1}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} 3 \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Bước 10

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Bước 11

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 1}$

Bước 12

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$\frac{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 1}$

Bước 13.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + \sin (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{2 + 1}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{3}{2} - 1}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\frac{3 - 2}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.1.11.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{2 \sin (\frac{π}{6}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 \sin (\frac{π}{6}) + 1}$

Bước 14.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - 3 (\frac{1}{2}) + 1}$

Bước 14.2.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{- 3}{2} + 1}$

Bước 14.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2} + 1}$

Bước 14.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 1}$

Bước 14.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 - 3}{2} + 1}$

Bước 14.2.8

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + 1}$

Bước 14.2.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{2} + \frac{2}{2}}$

Bước 14.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{- 1 + 2}{2}}$

Bước 14.2.11

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$

Bước 14.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$