Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + 3) (x^{2} - 1)$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Bước 4

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\sqrt{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\sqrt{2}$ cho $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\sqrt{2}$ cho $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$(2^{1} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.1.5

Tính số mũ.

$(2 + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.2

Cộng $2$ và $3$ .

$5 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$5 \cdot (2^{1} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.1.5

Tính số mũ.

$5 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$5 \cdot (2 - 1)$

Bước 9.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$5 \cdot 1$

Bước 9.5

Nhân $5$ với $1$ .

$5$