Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Bước 11

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Bước 12

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Bước 13

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Bước 14

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 1}$

Bước 15

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Bước 16

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Bước 16.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Bước 16.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Bước 16.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.1.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{128 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.1.3

Cộng $128$ và $1$ .

$\frac{129}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.2

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{129}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $129$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $129$ .

$\frac{3 (43)}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.4.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 64 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.4.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{43}{3} - \frac{128 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.4.3

Cộng $128$ và $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1 \cdot 1}$

Bước 17.1.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1}$

Bước 17.1.5.2

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{7}$

Bước 17.2

Để viết $\frac{43}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7}$

Bước 17.3

Để viết $- \frac{129}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 17.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $21$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Nhân $\frac{43}{3}$ với $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 17.4.2

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 17.4.3

Nhân $\frac{129}{7}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

Bước 17.4.4

Nhân $7$ với $3$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{21}$

Bước 17.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{43 \cdot 7 - 129 \cdot 3}{21}$

Bước 17.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.6.1

Nhân $43$ với $7$ .

$\frac{301 - 129 \cdot 3}{21}$

Bước 17.6.2

Nhân $- 129$ với $3$ .

$\frac{301 - 387}{21}$

Bước 17.6.3

Trừ $387$ khỏi $301$ .

$\frac{- 86}{21}$

Bước 17.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{86}{21}$

Bước 18

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{86}{21}$

Dạng thập phân:

$- 4.\overline{095238}$