Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Bước 9

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.6

Để viết $- \frac{5}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.7.1

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1 - 5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.9.1

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\frac{\frac{1 - 10}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.9.2

Trừ $10$ khỏi $1$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.10

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.11

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.13.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{\frac{- 9 + 8}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.13.2

Cộng $- 9$ và $8$ .

$\frac{\frac{- 1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.1.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Bước 11.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}$

Bước 11.2.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 3}$

Bước 11.2.6

Để viết $\frac{3}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - 3}$

Bước 11.2.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.7.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 3}$

Bước 11.2.7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4} - 3}$

Bước 11.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4} - 3}$

Bước 11.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.9.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 6}{4} - 3}$

Bước 11.2.9.2

Cộng $1$ và $6$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3}$

Bước 11.2.10

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 11.2.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}}$

Bước 11.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 3 \cdot 4}{4}}$

Bước 11.2.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.13.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 12}{4}}$

Bước 11.2.13.2

Trừ $12$ khỏi $7$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{- 5}{4}}$

Bước 11.2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{1}{4}}{- \frac{5}{4}}$

Bước 11.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$

Bước 11.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Bước 11.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Bước 11.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{5}$

Dạng thập phân:

$0.2$