Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x + 1}{6 x^{2} + 3 x}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Bước 6

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Bước 9.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{6 \frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{6 (\frac{1}{4}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2}{2 (3) \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.4.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.5

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Bước 10.2.6

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}$

Bước 10.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{\frac{3 + 3}{2}}$

Bước 10.2.8

Cộng $3$ và $3$ .

$\frac{2}{\frac{6}{2}}$

Bước 10.2.9

Chia $6$ cho $2$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$