Giải tích Ví dụ

$lim_{t \to 0} - 2 \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 1

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 2 \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t + n t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 6

Chuyển số hạng $m$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 7

Chuyển số hạng $n$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t - n t}{2})$

Bước 9

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t - n t)$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t - lim_{t \to 0} n t))$

Bước 11

Chuyển số hạng $m$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} n t))$

Bước 12

Chuyển số hạng $n$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $0$ cho $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $0$ cho $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Bước 13.3

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $0$ cho $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n lim_{t \to 0} t))$

Bước 13.4

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $0$ cho $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Nhân $m$ với $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.1.2

Nhân $n$ với $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.2

Cộng $0$ và $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$- 2 \sin (0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 2 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.5

Nhân $- 2$ với $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Bước 14.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Nhân $m$ với $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 - n \cdot 0))$

Bước 14.6.2

Nhân $- n \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0 n))$

Bước 14.6.2.2

Nhân $0$ với $n$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0))$

Bước 14.7

Cộng $0$ và $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 14.8

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$0 \cdot \sin (0)$

Bước 14.9

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 \cdot 0$

Bước 14.10

Nhân $0$ với $0$ .

$0$