Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\tan (x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Bước 1.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cos (2 x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cot (x)$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2} \cdot π$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} 2 x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \cot (x)$

Bước 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\cos (2 lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{1}{2} \cdot π$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2} \cdot π$ cho $x$ .

$\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot π)) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} x)$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2} \cdot π$ cho $x$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{1}{2} \cdot π)$

Bước 6.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $π$ .

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (π) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \cos (0) \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Bước 7.5

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Bước 7.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$