Giải tích Ví dụ

$y = 4 {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{5}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$4 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$4 (5 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $5$ với $4$ .

$20 ({(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{2}} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 8.3

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Bước 10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $20$ .

$\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$

Bước 10.3

Kết hợp $\frac{20}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Đưa $2$ ra ngoài $20 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\frac{10 ({(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 (x^{2} + 4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2} \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{1} \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.5

Rút gọn.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x \cdot 1 + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.7

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1^{3} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.9

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1^{4})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.2.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{10 (x^{2} + 4 x^{\frac{3}{2}} + 6 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{10 x^{2} + 10 (4 x^{\frac{3}{2}}) + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Nhân $4$ với $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 10 (6 x) + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.4.2

Nhân $6$ với $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 10 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.4.3

Nhân $4$ với $10$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.1.4.4

Nhân $10$ với $1$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x^{\frac{3}{2}} + 60 x + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{10 x^{2} + 60 x + 40 x^{\frac{3}{2}} + 40 x^{\frac{1}{2}} + 10}{x^{\frac{1}{2}}}$