Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 4)}^{2}}{{(5 x - 7)}^{2}}$

Bước 1

Chia tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ cao nhất của $x$ dưới mẫu.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{{(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.2

Đưa số mũ $2$ từ ${(\frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 2.7

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa số mũ $2$ từ ${(\frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{- 7}{x})}^{2}}$

Bước 4.6

Chuyển số hạng $- 7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{{(2 + 4 \cdot 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6.1.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{2^{2}}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{{(5 \cdot 1 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{4}{{(5 - 7 \cdot 0)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Nhân $- 7$ với $0$ .

$\frac{4}{{(5 + 0)}^{2}}$

Bước 6.2.3

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{4}{5^{2}}$

Bước 6.2.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{25}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4}{25}$

Dạng thập phân:

$0.16$