Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Bước 1

Tính giới hạn của $\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 3$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{y^{2} - 3^{2}}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Bước 2.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ và có tổng là $b = 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $7 y$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 7 (y) + 3}}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại $7$ ở dạng $1$ cộng $6$

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}}$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}}$

Bước 2.3.1.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{2 y^{2} + y + 6 y + 3}}$

Bước 2.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}}$

Bước 2.3.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}}$

Bước 2.3.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 y + 1$ .

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{\frac{(y + 3) (y - 3)}{(2 y + 1) (y + 3)}}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$

Bước 2.5

Viết lại $\sqrt{\frac{y - 3}{2 y + 1}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Bước 2.6

Nhân $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ với $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$

Bước 2.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $\frac{\sqrt{y - 3}}{\sqrt{2 y + 1}}$ với $\frac{\sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{\sqrt{2 y + 1} \sqrt{2 y + 1}}$

Bước 2.7.2

Nâng $\sqrt{2 y + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} \sqrt{2 y + 1}}$

Bước 2.7.3

Nâng $\sqrt{2 y + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1} {\sqrt{2 y + 1}}^{1}}$

Bước 2.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 2.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{\sqrt{2 y + 1}}^{2}}$

Bước 2.7.6

Viết lại ${\sqrt{2 y + 1}}^{2}$ ở dạng $2 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 y + 1}$ ở dạng ${(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{({(2 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{{(2 y + 1)}^{1}}$

Bước 2.7.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{y - 3} \sqrt{2 y + 1}}{2 y + 1}$

Bước 2.8

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{(y - 3) (2 y + 1)}}{2 y + 1}$