Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 8} 3 e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Bước 1

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} e^{3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Bước 3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 8} 3 x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1}}{x}$

Bước 5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}}{x}$

Bước 5.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}}{x}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} {(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}}{x}$

Bước 6

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại ${(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})}}{x}$

Bước 6.2

Khai triển $\ln ({(e^{3 x} + 1)}^{\frac{1 - x}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1 - x}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1 - x}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + 1)}}{x}$

Bước 7.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Bước 7.8

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} 3 x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Bước 7.9

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}}{x}$

Bước 7.10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3 e^{3 lim_{x \to 8} x} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 lim_{x \to 8} x} + 1)}}{x}$

Bước 8.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{3 e^{3 \cdot 8} \cdot e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}}{x}$

Bước 9

Nhân $e^{3 \cdot 8}$ với $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)}$ .

$\frac{3 (e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1)} e^{3 \cdot 8})}{x}$

Bước 9.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 e^{\frac{1 - 8}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.3

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{3 \cdot 8} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.4

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{3 e^{\frac{- 7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 e^{- \frac{7}{8} \cdot \ln (e^{24} + 1) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.5.2

Nhân $- \frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1

Sắp xếp lại $\ln (e^{24} + 1)$ và $\frac{7}{8}$ .

$\frac{3 e^{- (\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.5.2.2

Rút gọn $\frac{7}{8} \ln (e^{24} + 1)$ bằng cách di chuyển $\frac{7}{8}$ trong logarit.

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 3 \cdot 8}}{x}$

Bước 9.5.3

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{3 e^{- \ln ({(e^{24} + 1)}^{\frac{7}{8}}) + 24}}{x}$