Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to a} (x^{2} - (a + 1) x) + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $a$ .

$\frac{lim_{x \to a} x^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - lim_{x \to a} (a + 1) x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $a + 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + lim_{x \to a} a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $a$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $a$ .

$\frac{{(lim_{x \to a} x)}^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $a$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $a$ cho $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) lim_{x \to a} x + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $a$ cho $x$ .

$\frac{a^{2} - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $a$ ra ngoài $a^{2} - (a + 1) a + a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Đưa $a$ ra ngoài $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a - (a + 1) a + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.1.2

Đưa $a$ ra ngoài $- (a + 1) a$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.1.3

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a^{1}}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.1.4

Đưa $a$ ra ngoài $a^{1}$ .

$\frac{a \cdot a + a (- (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.1.5

Đưa $a$ ra ngoài $a \cdot a + a (- (a + 1))$ .

$\frac{a (a - (a + 1)) + a \cdot 1}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.1.6

Đưa $a$ ra ngoài $a (a - (a + 1)) + a \cdot 1$ .

$\frac{a (a - (a + 1) + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{a (a - a - 1 \cdot 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{a (a - a - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.4

Trừ $a$ khỏi $a$ .

$\frac{a (0 - 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.5

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{a (- 1 + 1)}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.1.6

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{a \cdot 0}{x^{3} - a^{3}}$

Bước 6.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = a$ .

$\frac{a \cdot 0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

Bước 6.3

Nhân $a$ với $0$ .

$\frac{0}{(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})}$

Bước 6.4

Chia $0$ cho $(x - a) (x^{2} + x a + a^{2})$ .

$0$