Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 8} x \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{8 \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{8 \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 4.1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 4.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{8 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 4.1.3

Nhân $8$ với $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}$

Bước 4.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} + 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + 2 x^{2}}}$

Bước 4.2.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 2)}}$

Bước 4.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$

Bước 4.3

Nhân $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ với $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$

Bước 4.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $\frac{16 \sqrt{2}}{x \sqrt{x + 2}}$ với $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x \sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2}}$

Bước 4.4.2

Di chuyển $\sqrt{x + 2}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (\sqrt{x + 2} \sqrt{x + 2})}$

Bước 4.4.3

Nâng $\sqrt{x + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} \sqrt{x + 2})}$

Bước 4.4.4

Nâng $\sqrt{x + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x ({\sqrt{x + 2}}^{1} {\sqrt{x + 2}}^{1})}$

Bước 4.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{1 + 1}}$

Bước 4.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {\sqrt{x + 2}}^{2}}$

Bước 4.4.7

Viết lại ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ ở dạng $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 2}$ ở dạng ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x {(x + 2)}^{1}}$

Bước 4.4.7.5

Rút gọn.

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{x + 2}}{x (x + 2)}$

Bước 4.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{16 \sqrt{(x + 2) \cdot 2}}{x (x + 2)}$

Bước 4.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 2$ .

$\frac{16 \sqrt{2 (x + 2)}}{x (x + 2)}$