Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \sqrt[4]{\frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{9 + x^{2}}{1 + 16 x^{2}}}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2

Chia $16$ cho $1$ .

$\sqrt[4]{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{9}{x^{2}} + 1}{\frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 3.5

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + 16}}$

Bước 5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + lim_{x \to - \infty} 16}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\sqrt[4]{\frac{9 \cdot 0 + 1}{0 + 16}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $9$ với $0$ .

$\sqrt[4]{\frac{0 + 1}{0 + 16}}$

Bước 7.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{0 + 16}}$

Bước 7.2.3

Cộng $0$ và $16$ .

$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Bước 7.2.4

Viết lại $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Bước 7.2.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Bước 7.2.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Bước 7.2.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$