Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 3

Đưa số mũ $3$ từ ${(n + 1)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{2 n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ ${(n + 2)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{3 n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 11

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 lim_{n \to 8} \frac{n}{{(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 12

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} {(n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 13

Đưa số mũ $3$ từ ${(n + 3)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 14

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 3)}^{3}} + lim_{n \to 8} \frac{n^{2}}{{(n + n)}^{3}}$

Bước 15

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

Bước 16

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{lim_{n \to 8} n^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Bước 17

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 1)}^{3}} + 2 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 2)}^{3}} + 3 \frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n + 3)}^{3}} + \frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}}{lim_{n \to 8} {(n + n)}^{3}}$

Bước 18

Đưa số mũ $3$ từ ${(n + n)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

Bước 19

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

Bước 20

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1