Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} (3^{\sin (n \cdot π)} - 1) \cdot \ln (n^{2} + 2)$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$(lim_{n \to 8} 3^{\sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$(3^{lim_{n \to 8} \sin (n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$(3^{\sin (lim_{n \to 8} n \cdot π)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 5

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n^{2} + 2)$

Bước 7

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + 2)$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2)$

Bước 10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$(3^{\sin (π lim_{n \to 8} n)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2)$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$(3^{\sin (π \cdot 8)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$(3^{\sin (8 \cdot π)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.1.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$(3^{\sin (0)} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$(3^{0} - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 \cdot \ln (8^{2} + 2)$

Bước 12.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$0 \cdot \ln (64 + 2)$

Bước 12.4

Cộng $64$ và $2$ .

$0 \cdot \ln (66)$

Bước 12.5

Nhân $0$ với $\ln (66)$ .

$0$