Giải tích Ví dụ

$lim_{t \to 4} t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng $e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$ .

$lim_{t \to 4} e^{\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (t^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}})$ bằng cách di chuyển $2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{t \to 4} e^{2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{t \to 4} 2 {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Bước 2.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \ln (t)}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $4$ .

$e^{2 lim_{t \to 4} {(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.4

Đưa số mũ $\frac{3}{2}$ từ ${(t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - 3 t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $4$ .

$e^{2 {(lim_{t \to 4} t^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.6

Đưa số mũ $2$ từ $t^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - lim_{t \to 4} 3 t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.7

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + lim_{t \to 4} 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.8

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $4$ .

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{t \to 4} \ln (t)}$

Bước 2.9

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{2 {({(lim_{t \to 4} t)}^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $4$ cho $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 lim_{t \to 4} t + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $4$ cho $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (lim_{t \to 4} t)}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $t$ bằng cách điền vào $4$ cho $t$ .

$e^{2 {(4^{2} - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$e^{2 {(16 - 3 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$e^{2 {(16 - 12 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.2

Trừ $12$ khỏi $16$ .

$e^{2 {(4 + 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.3

Cộng $4$ và $4$ .

$e^{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4

Nhân $2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$e^{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.2.2

Nhân $3 (\frac{3}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2}$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.2.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$e^{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{2^{1 + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$e^{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{2^{\frac{2 + 9}{2}} \cdot \ln (4)}$

Bước 4.4.6

Cộng $2$ và $9$ .

$e^{2^{\frac{11}{2}} \cdot \ln (4)}$

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{2^{\frac{11}{2}} \ln (4)}$

Dạng thập phân:

$1.7624831 \cdot 10^{27}$