Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 8}}{\frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 1.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 1.4

Tính giới hạn của $8$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{lim_{n \to 8} \frac{{(n + 8)}^{n + 1}}{\frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 1.5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} {(n + 8)}^{n + 1}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(n + 8)}^{n + 1}$ ở dạng $e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 8)}^{n + 1})}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(n + 8)}^{n + 1})$ bằng cách di chuyển $n + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{lim_{n \to 8} e^{(n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} (n + 1) \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{lim_{n \to 8} n + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.5

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.7

Tính giới hạn của $8$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{lim_{n \to 8} \frac{3^{n + 1}}{{(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.8

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{lim_{n \to 8} 3^{n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.9

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 3.11

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} {(n + 7)}^{n}}}}$

Bước 4

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(n + 7)}^{n}$ ở dạng $e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{\ln ({(n + 7)}^{n})}}}}$

Bước 4.2

Khai triển $\ln ({(n + 7)}^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{lim_{n \to 8} e^{n \ln (n + 7)}}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \ln (n + 7)}}}}$

Bước 5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (n + 7)}}}}$

Bước 5.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Bước 5.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 7)}}}}$

Bước 5.5

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 8}}{\frac{e^{(lim_{n \to 8} n + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 8)}}{\frac{3^{lim_{n \to 8} n + 1}}{e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} n + 7)}}}}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1