Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} {(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}^{2 n^{2} + 1})$ bằng cách di chuyển $2 n^{2} + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{n \to 8} e^{(2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{n \to 8} (2 n^{2} + 1) \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1 \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$e^{(2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.5

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.7

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n^{2} + 2}{n^{2} - 3})}$

Bước 2.8

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Bước 2.9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Bước 2.10

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Bước 2.11

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - 3})}$

Bước 2.12

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Bước 2.13

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3})}$

Bước 2.14

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$e^{(2 \cdot 8^{2} + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e^{(2 \cdot 64 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 4.1.2

Nhân $2$ với $64$ .

$e^{(128 + 1) \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 4.2

Cộng $128$ và $1$ .

$e^{129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}$

Bước 4.3

Rút gọn $129 \cdot \ln (\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})$ bằng cách di chuyển $129$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129})}$

Bước 4.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{8^{2} + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

${(\frac{64 + 2}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Bước 4.5.2

Cộng $64$ và $2$ .

${(\frac{66}{8^{2} - 1 \cdot 3})}^{129}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

${(\frac{66}{64 - 1 \cdot 3})}^{129}$

Bước 4.6.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

${(\frac{66}{64 - 3})}^{129}$

Bước 4.6.3

Trừ $3$ khỏi $64$ .

${(\frac{66}{61})}^{129}$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{66}{61}$ .

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{66^{129}}{61^{129}}$

Dạng thập phân:

$25919.04337747 \dots$