Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} 2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 1

Chuyển số hạng $2592$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$2592 lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{4 n^{2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (lim_{n \to 8} \frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 3

Tính giới hạn của $\frac{1}{4}$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + lim_{n \to 8} \frac{1}{2 n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} lim_{n \to 8} \frac{1}{n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 6

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + lim_{n \to 8} \frac{1}{4 n^{2}})$

Bước 7

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} lim_{n \to 8} \frac{1}{n^{2}})$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n^{2}})$

Bước 10

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{n \to 8} n} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(lim_{n \to 8} n)}^{2}})$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{8}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Bước 12.1.1.2

Nhân $2$ với $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{2}})$

Bước 12.1.2

Kết hợp.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 8^{2}})$

Bước 12.1.3

Nhân $1$ với $1$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4 \cdot 8^{2}})$

Bước 12.1.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 8^{2}})$

Bước 12.1.4.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}})$

Bước 12.1.4.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}})$

Bước 12.1.4.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{6}})$

Bước 12.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2 + 6}})$

Bước 12.1.4.5

Cộng $2$ và $6$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{8}})$

Bước 12.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $8$ .

$2592 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{64}{64}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2.3

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{1}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2.4

Nhân $\frac{1}{16}$ với $\frac{16}{16}$ .

$2592 (\frac{64}{4 \cdot 64} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2.5

Nhân $4$ với $64$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{16 \cdot 16} + \frac{1}{256})$

Bước 12.2.6

Nhân $16$ với $16$ .

$2592 (\frac{64}{256} + \frac{16}{256} + \frac{1}{256})$

Bước 12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2592 \frac{64 + 16 + 1}{256}$

Bước 12.4

Cộng $64$ và $16$ .

$2592 \frac{80 + 1}{256}$

Bước 12.5

Cộng $80$ và $1$ .

$2592 (\frac{81}{256})$

Bước 12.6

Triệt tiêu thừa số chung $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Đưa $32$ ra ngoài $2592$ .

$32 (81) \frac{81}{256}$

Bước 12.6.2

Đưa $32$ ra ngoài $256$ .

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Bước 12.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 \cdot 81 \frac{81}{32 \cdot 8}$

Bước 12.6.4

Viết lại biểu thức.

$81 (\frac{81}{8})$

Bước 12.7

Kết hợp $81$ và $\frac{81}{8}$ .

$\frac{81 \cdot 81}{8}$

Bước 12.8

Nhân $81$ với $81$ .

$\frac{6561}{8}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{6561}{8}$

Dạng thập phân:

$820.125$