Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} + 4 n + 2} - \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - 1$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} + 4 n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} + 4 n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt{5 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 6

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 7

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - lim_{n \to 8} \sqrt{5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 8

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} - 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{lim_{n \to 8} 5 n^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 10

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 11

Đưa số mũ $2$ từ $n^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 2 n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 12

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - lim_{n \to 8} 1$

Bước 13

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $8$ .

$\sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Bước 14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Bước 14.2

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Bước 14.3

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 lim_{n \to 8} n} - 1 \cdot 1$

Bước 14.4

Tính giới hạn của $n$ bằng cách điền vào $8$ cho $n$ .

$\sqrt{5 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{5 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.2

Nhân $5$ với $64$ .

$\sqrt{320 + 4 \cdot 8 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.3

Nhân $4$ với $8$ .

$\sqrt{320 + 32 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.4

Cộng $320$ và $32$ .

$\sqrt{352 + 2} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.5

Cộng $352$ và $2$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{5 \cdot 8^{2} - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.6

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{5 \cdot 64 - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.7

Nhân $5$ với $64$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{320 - 2 \cdot 8} - 1 \cdot 1$

Bước 15.8

Nhân $- 2$ với $8$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{320 - 16} - 1 \cdot 1$

Bước 15.9

Trừ $16$ khỏi $320$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{304} - 1 \cdot 1$

Bước 15.10

Viết lại $304$ ở dạng $4^{2} \cdot 19$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.10.1

Đưa $16$ ra ngoài $304$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{16 (19)} - 1 \cdot 1$

Bước 15.10.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\sqrt{354} - \sqrt{4^{2} \cdot 19} - 1 \cdot 1$

Bước 15.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\sqrt{354} - (4 \sqrt{19}) - 1 \cdot 1$

Bước 15.12

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1 \cdot 1$

Bước 15.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\sqrt{354} - 4 \sqrt{19} - 1$

Dạng thập phân:

$0.37929194 \dots$