Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 3

Đưa số mũ $\frac{5}{3}$ từ $x^{\frac{5}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 4

Đưa số mũ $\frac{1}{3}$ từ $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot 2^{5} - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{2 \cdot 32 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.5

Nhân $2$ với $32$ .

$\frac{64 - 8^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.6

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{64 - {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{64 - 2^{3 (\frac{1}{3})} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.8.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{64 - 2^{1} + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.9

Tính số mũ.

$\frac{64 - 1 \cdot 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{64 - 2 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.11

Trừ $2$ khỏi $64$ .

$\frac{62 + 7}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.1.12

Cộng $62$ và $7$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$

Bước 7.2

Nhân $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ với $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}} \cdot \frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$

Bước 7.3

Nhân $\frac{69}{x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}}$ với $\frac{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}{x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{(x^{\frac{8}{5}} + 3 + \sqrt{x}) (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}$

Bước 7.4

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + x^{\frac{8}{5}} \cdot 3 - x^{\frac{21}{10}} + 3 x^{\frac{8}{5}} + 9 - 3 \sqrt{x} + x^{\frac{21}{10}} + \sqrt{x} \cdot 3 - {\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 7.5

Rút gọn.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x^{\frac{16}{5}} + 6 x^{\frac{8}{5}} + 9 - x}$

Bước 7.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- x + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Bước 7.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) + 6 x^{\frac{8}{5}} + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Bước 7.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $6 x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Bước 7.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (- 6 x^{\frac{8}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) + x^{\frac{16}{5}} + 9}$

Bước 7.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $x^{\frac{16}{5}}$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Bước 7.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}}) - 1 (- x^{\frac{16}{5}})$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) + 9}$

Bước 7.12

Viết lại $9$ ở dạng $- 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)}$

Bước 7.13

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Bước 7.14

Viết lại $- (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ ở dạng $- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)$ .

$\frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{- 1 (x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9)}$

Bước 7.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{69 (x^{\frac{8}{5}} + 3 - \sqrt{x})}{x - 6 x^{\frac{8}{5}} - x^{\frac{16}{5}} - 9}$