Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 8} 16 x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 1.2

Đưa số mũ $\frac{2}{3}$ từ $x^{\frac{2}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{16 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $2^{4}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{2^{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{4 + 2}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.1.5

Cộng $4$ và $2$ .

$\frac{2^{6}}{4 - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - x^{\frac{4}{3}}}$

Bước 3.2.2

Viết lại $x^{\frac{4}{3}}$ ở dạng ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$\frac{2^{6}}{2^{2} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Bước 3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2^{6}}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$

Bước 3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{64}{(2 + x^{\frac{2}{3}}) (2 - x^{\frac{2}{3}})}$