Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 1.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $\sqrt{2}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 3.2

Khai triển $(\sqrt{x} - \sqrt{2}) (\sqrt{x} + \sqrt{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})}$

Bước 3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sqrt{x} \sqrt{2}$ và $- \sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.3.2

Trừ $\sqrt{2} \sqrt{x}$ khỏi $\sqrt{2} \sqrt{x}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} + 0 - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $\sqrt{x} \sqrt{x}$ và $0$ .

$\frac{0}{\sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0}{x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{x^{1} - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.2.5

Rút gọn.

$\frac{0}{x - \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 3.4.3

Nhân $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Bước 3.4.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0}{x - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Bước 3.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 3.4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{0}{x - {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 3.4.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{x - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.4.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.4.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0}{x - 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{x - 2^{1}}$

Bước 3.4.4.5

Tính số mũ.

$\frac{0}{x - 1 \cdot 2}$

Bước 3.4.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0}{x - 2}$

Bước 3.5

Chia $0$ cho $x - 2$ .

$0$