Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.4

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2^{1} \cdot 2^{3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2^{1 + 3} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\sqrt{2^{4} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.3

Cộng $16$ và $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.3.2

Nâng $\sqrt{x^{2} + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 3.3.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Bước 3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 3.3.6

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 3.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{2 \sqrt{5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{2 \sqrt{(x^{2} + 1) \cdot 5}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \sqrt{5 (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$