Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - lim_{x \to 2} \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 1.6

Tính giới hạn của $\frac{1}{5}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 + 3) \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $\frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$ với $\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5}$ .

$\frac{(2 + 3) \cdot 5}{(2 + 3) \cdot 5} \cdot \frac{\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5}}{x^{2} - 4}$

Bước 3.1.2

Kết hợp.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 (\frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $2 + 3$ ra ngoài $(2 + 3) \cdot 5$ .

$\frac{(2 + 3) (5) \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(2 + 3) \cdot 5 \frac{1}{2 + 3} + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 (- \frac{1}{5})}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{5}$ vào tử số.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot 5 \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2.2

Đưa $5$ ra ngoài $(2 + 3) \cdot 5$ .

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 + 5 \cdot (2 + 3) \frac{- 1}{5}}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 + (2 + 3) \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{5 + 5 \cdot - 1}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.4.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{5 - 5}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.4.3

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $(2 + 3) \cdot 5$ ra ngoài $(2 + 3) \cdot 5 x^{2} + (2 + 3) \cdot 5 \cdot - 4$ .

$\frac{0}{(2 + 3) \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Bước 3.5.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{0}{5 \cdot 5 (x^{2} - 4)}$

Bước 3.5.3

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{0}{25 (x^{2} - 4)}$

Bước 3.5.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{0}{25 (x^{2} - 2^{2})}$

Bước 3.5.5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{0}{25 (x + 2) (x - 2)}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $25$ ra ngoài $0$ .

$\frac{25 (0)}{25 (x + 2) (x - 2)}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $25 (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{25 (0)}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25 \cdot 0}{25 ((x + 2) (x - 2))}$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Bước 3.7

Chia $0$ cho $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$