Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 2} (\frac{1}{x}) - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 1.4

Tính giới hạn của $\frac{1}{2}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 2} x} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{x^{3} - 8}$

Bước 3.1.2

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{2 (x^{3} - 8)}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách triệt tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 (- \frac{1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 (\frac{- 1}{2})}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 1}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{2 x^{3} + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3} + 2 \cdot - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 8}$

Bước 3.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 8$ .

$\frac{0}{2 (x^{3}) + 2 (- 8)}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x^{3}) + 2 (- 8)$ .

$\frac{0}{2 (x^{3} - 8)}$

Bước 3.5.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{0}{2 (x^{3} - 2^{3})}$

Bước 3.5.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Bước 3.5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2}))}$

Bước 3.5.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

$\frac{0}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$\frac{2 (0)}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Bước 3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 0}{2 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}$

Bước 3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Bước 3.7

Chia $0$ cho $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$0$