Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 1} x^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 1.4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt[3]{1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1^{2}}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt[3]{1 + 1}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 3.1.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1 - x^{3}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}$

Bước 3.2.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$

Bước 3.3

Nhân $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Bước 3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nâng $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}$

Bước 3.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{1 + 2}}$

Bước 3.4.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}}$

Bước 3.4.5

Viết lại ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{3}$ ở dạng $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$ ở dạng ${((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{({((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 3.4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 3.4.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{1}}$

Bước 3.4.5.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Bước 3.5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Bước 3.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt[3]{2 {(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}$