Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - 1}{\ln (x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{x} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $x^{x}$ ở dạng $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{lim_{x \to 1} e^{\ln (x^{x})} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 3.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 3.3

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - lim_{x \to 1} 1}{\ln (x)}$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{e^{1 \cdot \ln (1)} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $1 \cdot \ln (1)$ bằng cách di chuyển $1$ trong logarit.

$\frac{e^{\ln (1^{1})} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 5.1.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1^{1} - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 5.1.3

Tính số mũ.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\ln (x)}$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{\ln (x)}$

Bước 5.1.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{\ln (x)}$

Bước 5.2

Chia $0$ cho $\ln (x)$ .

$0$