Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + lim_{x \to 0} 1}{x \csc (x)}$

Bước 2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (x) + 1}{x \csc (x)}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ - 0.1 & 1.00166861 \\ - 0.01 & 1.00001666 \\ - 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $1$ .

$1$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \csc (x) \\ 0.1 & 1.00166861 \\ 0.01 & 1.00001666 \\ 0.001 & 1.00000016 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $1$ .

$\frac{1 + 1}{x \csc (x)}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2}{x \csc (x)}$

Bước 9.2

Tách các phân số.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Bước 9.3

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 9.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{x} (1 \sin (x))$

Bước 9.5

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{2}{x} \sin (x)$

Bước 9.6

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{x}$