Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} \sin (x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - \sin (x)}}{x}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Bước 8

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} \sin (x)}}{x}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sqrt{1 + \sin (lim_{x \to 0} x)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (lim_{x \to 0} x)}}{x}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + \sin (0)} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Bước 11.1.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Bước 11.1.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - \sin (0)}}{x}$

Bước 11.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 0}}{x}$

Bước 11.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{x}$

Bước 11.1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{x}$

Bước 11.1.7

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x}$

Bước 11.1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{x}$

Bước 11.1.9

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{x}$

Bước 11.2

Chia $0$ cho $x$ .

$0$