Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Bước 1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân $\frac{1}{x \sqrt{1 + x}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.2

Di chuyển $\sqrt{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.3

Nâng $\sqrt{1 + x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.4

Nâng $\sqrt{1 + x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {\sqrt{1 + x}}^{2}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7

Viết lại ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ ở dạng $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x {(1 + x)}^{1}} - \frac{1}{x}$

Bước 2.1.2.7.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x}$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + x}{1 + x}$

Bước 2.3

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x}}{x (1 + x)} - \frac{1 + x}{x (1 + x)}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x}$ ở dạng ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - (1 + x)}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.2

Viết lại $1 + x$ ở dạng ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.3

Giả sử $u = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u - u^{2}}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.4

Đưa $u$ ra ngoài $u - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.4.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.4.3

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.4.4

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$\frac{u (1 - u)}{x (1 + x)}$

Bước 2.5.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{x (1 + x)}$

Bước 2.6

Di chuyển ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x (1 + x) {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 2.7

Nhân $1 + x$ với ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (1 + x))}$

Bước 2.7.2

Nhân ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ với $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Nâng $1 + x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x ({(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + x)}^{1})}$

Bước 2.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Bước 2.7.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 2.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Bước 2.7.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1 - {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$