Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + x \sin (x) - \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 7.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1 + 0 \cdot \sin (0) - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1 + 0 \cdot 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.2

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (2 \cdot 0)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{1 + 0 - \cos (0)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1 - 1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.1.7

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.2

Nhân với $1$ .

$\frac{0}{\sin^{2} (x) \cdot 1}$

Bước 8.3

Tách các phân số.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 8.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{0}{1} \csc^{2} (x)$

Bước 8.5

Chia $0$ cho $1$ .

$0 \csc^{2} (x)$

Bước 8.6

Nhân $0$ với $\csc^{2} (x)$ .

$0$