Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 2 x - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{1}{3}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{3}$ cho $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{3}$ cho $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 \cdot 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1 + 2}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.7

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.11.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{\frac{0}{3}}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.1.12

Chia $0$ cho $3$ .

$\frac{0}{9 x^{2} - 1}$

Bước 7.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1}$

Bước 7.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{0}{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}$

Bước 7.2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 3 x$ và $b = 1$ .

$\frac{0}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Bước 7.3

Chia $0$ cho $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$0$