Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Bước 2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ ${(x + h)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Bước 5

Tính giới hạn của $h$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{h}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x^{2}}{h}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{h}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(0 + h)}^{2} - 3 \cdot 0^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(0 + h)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) - 3 \cdot 0^{2}}{h}$

Bước 9.1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 \cdot 0^{2}$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})}{h}$

Bước 9.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 ({(0 + h)}^{2}) + 3 (- 0^{2})$ .

$\frac{3 ({(0 + h)}^{2} - 0^{2})}{h}$

Bước 9.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 0 + h$ và $b = 0$ .

$\frac{3 ((0 + h + 0) (0 + h + 0))}{h}$

Bước 9.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Cộng $0 + h$ và $0$ .

$\frac{3 ((0 + h) (0 + h + 0))}{h}$

Bước 9.1.3.2

Cộng $0$ và $h$ .

$\frac{3 (h (0 + h + 0))}{h}$

Bước 9.1.3.3

Cộng $0 + h$ và $0$ .

$\frac{3 (h (0 + h))}{h}$

Bước 9.1.3.4

Cộng $0$ và $h$ .

$\frac{3 (h \cdot h)}{h}$

$\frac{3 h \cdot h}{h}$

Bước 9.1.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h)}{h}$

Bước 9.1.4.2

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (h^{1} h^{1})}{h}$

Bước 9.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 h^{1 + 1}}{h}$

Bước 9.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 h^{2}}{h}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $h^{2}$ và $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{2}$ .

$\frac{h (3 h)}{h}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nâng $h$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{h (3 h)}{h^{1}}$

Bước 9.2.2.2

Đưa $h$ ra ngoài $h^{1}$ .

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Bước 9.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (3 h)}{h \cdot 1}$

Bước 9.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 h}{1}$

Bước 9.2.2.5

Chia $3 h$ cho $1$ .

$3 h$