Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - 343}{h}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $o$ .

$\frac{lim_{h \to o} {(7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Bước 1.2

Đưa số mũ $3$ từ ${(7 + h)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $o$ .

$\frac{{(lim_{h \to o} 7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Bước 1.4

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - lim_{h \to o} 343}{h}$

Bước 1.5

Tính giới hạn của $343$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $o$ .

$\frac{{(7 + lim_{h \to o} h)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Bước 2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $o$ cho $h$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 1 \cdot 343}{h}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $343$ ở dạng $7^{3}$ .

$\frac{{(7 + o)}^{3} - 7^{3}}{h}$

Bước 3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 7 + o$ và $b = 7$ .

$\frac{(7 + o - 7) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $7$ khỏi $7$ .

$\frac{(o + 0) ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.2

Cộng $o$ và $0$ .

$\frac{o ({(7 + o)}^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.3

Viết lại ${(7 + o)}^{2}$ ở dạng $(7 + o) (7 + o)$ .

$\frac{o ((7 + o) (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.4

Khai triển $(7 + o) (7 + o)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{o (7 (7 + o) + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o (7 + o) + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{o (7 \cdot 7 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1

Nhân $7$ với $7$ .

$\frac{o (49 + 7 o + o \cdot 7 + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.5.1.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 \cdot o + o \cdot o + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.5.1.3

Nhân $o$ với $o$ .

$\frac{o (49 + 7 o + 7 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.5.2

Cộng $7 o$ và $7 o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + (7 + o) \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 7 \cdot 7 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.7

Nhân $7$ với $7$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + o \cdot 7 + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.8

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $o$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 \cdot o + 7^{2})}{h}$

Bước 3.3.9

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{o (49 + 14 o + o^{2} + 49 + 7 o + 49)}{h}$

Bước 3.3.10

Cộng $49$ và $49$ .

$\frac{o (14 o + o^{2} + 98 + 7 o + 49)}{h}$

Bước 3.3.11

Cộng $14 o$ và $7 o$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 98 + 49)}{h}$

Bước 3.3.12

Cộng $98$ và $49$ .

$\frac{o (21 o + o^{2} + 147)}{h}$

Bước 3.3.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{o (o^{2} + 21 o + 147)}{h}$