Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 5

Tính giới hạn của $π$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{2}$ cho $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$

Bước 7.1.2

Kết hợp.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π)}{2 (x - \frac{π}{2})}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

Bước 7.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 π \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{2 π \cdot 1 + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 π + 2 (- π)}{2 x - π}$

Bước 7.4.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 π - 2 π}{2 x - π}$

Bước 7.4.6

Trừ $2 π$ khỏi $2 π$ .

$\frac{0}{2 x - π}$

Bước 7.5

Chia $0$ cho $2 x - π$ .

$0$