Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.2

Nâng $\sqrt{x + h + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.3

Nâng $\sqrt{x + h + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} {\sqrt{x + h + 1}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{x + h + 1}}^{2}$ ở dạng $x + h + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + h + 1}$ ở dạng ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{({(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.2.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Bước 2.1.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ với $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.4.2

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Bước 2.1.4.3

Nâng $\sqrt{x + 1}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Bước 2.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Bước 2.1.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Bước 2.1.4.6

Viết lại ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ ở dạng $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.1.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.1.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.1.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.1.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Bước 2.1.4.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Bước 2.2

Để viết $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Bước 2.3

Để viết $- \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Bước 2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 1) (x + 1)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

Bước 2.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ với $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1) - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} \cdot 1 - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.6.2

Nhân $\sqrt{x + h + 1}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1} \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Bước 2.6.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x + h + 1)}$