Giải tích Ví dụ

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (3 y) \cot (5 y)}{y \cdot \cot (4 y)}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{y \to 0} \sin (3 y) \cot (5 y)}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

$lim_{y \to 0^{-}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (3 y) \cot (5 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị $y$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (3 y) \cot (5 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.6$ .

$0.6$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

$lim_{y \to 0^{+}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (3 y) \cot (5 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị $y$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (3 y) \cot (5 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.6$ .

$\frac{0.6}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

Bước 8

Xét giới hạn trái.

$lim_{y \to 0^{-}} y \cdot \cot (4 y)$

Bước 9

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $y \cdot \cot (4 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ - 0.1 & 0.23652224 \\ - 0.01 & 0.24986665 \\ - 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Bước 10

Khi các giá trị $y$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.25$ . Cho nên, giới hạn của $y \cdot \cot (4 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.25$ .

$0.25$

Bước 11

Xét giới hạn phải.

$lim_{y \to 0^{+}} y \cdot \cot (4 y)$

Bước 12

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $y \cdot \cot (4 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ 0.1 & 0.23652224 \\ 0.01 & 0.24986665 \\ 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

Bước 13

Khi các giá trị $y$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.25$ . Cho nên, giới hạn của $y \cdot \cot (4 y)$ khi $y$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.25$ .

$\frac{0.6}{0.25}$

Bước 14

Chia $0.6$ cho $0.25$ .

$2.4$