Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}}$

Bước 1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} 5 \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to π} \cos (x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.1.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.1.4

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$\frac{5 \cos (lim_{x \to π} x) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $π$ cho $x$ .

$\frac{5 \cos (π) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{5 (- \cos (0)) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1) + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.3

Nhân $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3.2

Cộng $- 5$ và $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} {(x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Đưa số mũ $2$ từ ${(x - π)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} π)}^{2}}$

Bước 1.1.3.1.3

Tính giới hạn của $π$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x - π)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $π$ cho $x$ .

$\frac{0}{{(π - π)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to π} \frac{5 \cos (x) + 5}{{(x - π)}^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x) + 5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 \cos (x) + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \cos (x)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{5 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.3.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.5

Cộng $- 5 \sin (x)$ và $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}$

Bước 1.3.6

Viết lại ${(x - π)}^{2}$ ở dạng $(x - π) (x - π)$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}$

Bước 1.3.7

Khai triển $(x - π) (x - π)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}$

Bước 1.3.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}$

Bước 1.3.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Bước 1.3.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}$

Bước 1.3.8.1.2

Nhân $- π (- π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}$

Bước 1.3.8.1.2.2

Nhân $π$ với $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}$

Bước 1.3.8.1.2.3

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}$

Bước 1.3.8.1.2.4

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}$

Bước 1.3.8.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}$

Bước 1.3.8.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}$

Bước 1.3.8.2

Trừ $π x$ khỏi $x (- π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.8.2.1

Di chuyển $x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}$

Bước 1.3.8.2.2

Trừ $π x$ khỏi $- π x$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}$

Bước 1.3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Bước 1.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Bước 1.3.11

Vì $- 2 π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 π x$ đối với $x$ là $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Bước 1.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Bước 1.3.13

Nhân $- 2$ với $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}$

Bước 1.3.14

Vì $π^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $π^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π + 0}$

Bước 1.3.15

Cộng $2 x - 2 π$ và $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{- 5 \sin (x)}{2 x - 2 π}$

Bước 2

Chuyển số hạng $- 5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$- 5 \frac{lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- 5 \frac{\sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Bước 3.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $π$ cho $x$ .

$- 5 \frac{\sin (π)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Bước 3.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- 5 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Bước 3.1.2.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - 2 π}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$- 5 \frac{0}{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 2 π}$

Bước 3.1.3.1.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 2 π}$

Bước 3.1.3.1.3

Tính giới hạn của $2 π$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $π$ .

$- 5 \frac{0}{2 lim_{x \to π} x - 2 π}$

Bước 3.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $π$ cho $x$ .

$- 5 \frac{0}{2 π - 2 π}$

Bước 3.1.3.3

Trừ $2 π$ khỏi $2 π$ .

$- 5 (\frac{0}{0})$

Bước 3.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- 5 (\frac{0}{0})$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- 5 (\frac{0}{0})$

Bước 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (x)}{2 x - 2 π} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - 2 π]}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 2 π$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Bước 3.3.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Bước 3.3.5

Vì $- 2 π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2 π$ đối với $x$ là $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2 + 0}$

Bước 3.3.6

Cộng $2$ và $0$ .

$- 5 lim_{x \to π} \frac{\cos (x)}{2}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π} \cos (x)$

Bước 4.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (lim_{x \to π} x)$

Bước 5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $π$ cho $x$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) \cos (π)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} \cos (π)$

Bước 6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2} \cos (π)$

Bước 6.3

$- \frac{5}{2} (- \cos (0))$

Bước 6.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{5}{2} (- 1 \cdot 1)$

Bước 6.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{5}{2} \cdot - 1$

Bước 6.6

Nhân $- \frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{5}{2})$

Bước 6.6.2

Nhân $\frac{5}{2}$ với $1$ .

$\frac{5}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{2}$

Dạng thập phân:

$2.5$